Medan Listrik Muatan Titik dan Muatan Kontinu Beserta Penurunan Persamaannya

Medan Listrik Dari Muatan Titik

Mengapa muatan q1 dapat melakukan gaya atau force pada muatan q2 meskipun kedua muatan listrik tersebut tidak berinteraksi satu sama lain? Fenomena ini sama halnya yang terjadi pada gaya gravitasi yaitu karena adanya medan gaya disekitar muatan. Gaya/force Coulomb yang muncul karena muatan q1 menghasilkan medan listrik pada posisi muatan q2. Muatan q2 berinteraksi dengan medan yang dihasilkan muatan q1, dan interaksi tersebut menghasilkan gaya pada muatan q2. Berikut akan dijelaskan lebih lanjut mengenai penurunan persamaanya.

Jika besarnya medan listrik yang dihasilkan muatan q1 pada posisi muatan q2 dinyatakan sebagai  E21,   maka force yang dilakukan oleh muatan q1 pada muatan q2 memenuhi persamaan :

                                                 (1)

Dengan membandingkan persamaan (1) dengan ungkapan hukum Coulomb dalam hal ini gaya/force Coloumb antara dua muatan titik yaitu:

                        (2)

maka kuat medan listrik yang dihasilkan muatan q1 pada posisi muatan q2 memenuhi

                                (3)

Dinyatakan dalam skalar, besarnya medan listrik yang dihasilkan muatan sembarang pada jarak r dari muatan tersebut adalah;

                                                (4)

Tampak bahwa besarnya medan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari muatan. Jika dibuatkan kurva kuat medan terhadap jarak maka akan diperoleh gambar sebagai berikut:

Gambar 1. Kuat medan listrik yang dihasilkan muatan titik sebagai fungsi jarak.

Medan Listrik dari Muatan Kontinu

Medan listrik di sekitar suatu muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum Coulomb. Namun jika sumber muatan bukan merupakan muatan titik, seperti muatan yang berupa bongkahan bermuatan yang memiliki volume tertentu.

Untuk muatan yang memiliki volume, dikenal rapat muatan atau ρ yang didefinisikan sebagai :

                                                 (5)

atau dalam bentuk diferensial :

                                               (6)

atau jika muatan dianggap tidak bervolume dan hanya memiliki panjang, maka muatan persatuan panjang didefinsikan sebagai :

                                             (7)

Jika diungkapkan dalam pernyataan integral muatan dalam sumber muatan  listrik dengan volume V adalah:

                                                (8)

Sehingga diperoleh besar medan listrik untuk muatan kontinu menjadi:

                                              (9)

1. Garis Bermuatan

• Medan listrik sepanjang garis

Dengan menggunakan persamaan (9), kita akan menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari garis bermuatan sepanjang L berikut:

                                         (10)

Kita tempatkan pada ujung garis pusat koordinat:

Sehingga jarak elemen muatan dQ ke titik P adalah (x-b) dan dQ sebagaimana persamaan (3) adalah ρdx:

                                      (11)

Persamaan ini harus diintegralkan melalui teknik substitusi variable. Kemudian variable (b-x) diganti dengan u sehingga:

b-x = u dan dx = -du, maka integrasi menjadi:

                           (12)

Karena ρL = Q, maka besar medan magnet sejauh b sepanjang garis:

                        (13)

• Medan listrik tegak lurus pusat garis

Dengan menggunakan persamaan (9), kita hitung medan listrik dititik p pada jarak b tegak lurus garis dengan menempatkan pertengahan garis pada pusat koordinat kartesius:

                                             (14)

Jarak dari elemen muatan dQ dengan panjang dx pada titik P adalah  dan dQ = ρdx, sehingga:

                                                 (15)

Perhatikan gambar berikut:

Tampak bahwa komponen x dari E (E sin θ) saling menghilangkan satu sama lain sehingga tidak perlu dihitung dan perhatikan komponen y nya saja.

                                 (16)

Karena,  , maka

                   (17)

Kita ganti menjadi:
x = tan ⁡θ, jika diturunkan maka  sehingga:

                  (18)

Sehingga medan magnet sejauh d tegak lurus garis:

                        (19)

atau:

                        (20)

Jika garis sangat panjang sehingga L/2 >> b, maka persamaan (8) dapat diaproksimasi menjadi:

                                                             (21)

2. Cincin Bermuatan

Menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat cincin menggunakan persamaan (9).

Medan listrik pada komponen y akan saling menhilangkan satu sama lain sehingga medan listrik yang diperhatikan hanya pada komponen x saja.

                                         (22)

Karena jarak elemen muatan dQ pada titik P, jadi r=√(b^2+x^2 ), dan cosθ = x / r, maka:

                     (23)

Sehingga kuat medan magnet pada titik P sejauh x dari pusat cincin adalah:

                                      (24)

3. Medan pada Pelat Cakram

Medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat benda berbentuk cakram dengan jari-jari b seperti pada gambar.

Kasus ini dapat dipandang sebagai penjumlahan dari muatan-muatan berbentuk cincin. Cincin-cincin ini jari-jarinya membesar mulai dari r = 0 hingga r = b sehingga membentuk cakram. Dengan menggunakan persamaan (24) untuk cincin berjari-jari r yang bermuatan dQ sebagai berikut:

                              (25)

Dengan dQ = rapat muatan x luas cincin = ρ(2πr.dr).Medan akibat cincin ini diintegralkan dari r = 0 hingga r = b, sehingga:

                       (26)

Dengan teknik substitusi variable, dimana u = r^2+x^2 dan du = 2rdr, maka E= kxρ2π 1/2

                   (27)

4. Medan Pada Pelat Tak Hingga

Untuk pelat tak hingga cukup mengaplikasikan persamaan (27) dengan menganggap b = ∞, maka besarnya medan listrik yang dihasilkan pada pelat tak berhingga ini adalah sebagai berikut:

                 (28)

DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Mikrajuddin. 2006. Diktat Kuliah Fisika Dasar II Tahap Persiapan Bersama ITB. Bandung : Penerbit FMIPA Institut Teknologi Bandung.

Bahtiar, Ayi. 2006. Listrik Magnet 1. Bandung :Jurusan Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran.

Reitz, R John. 1993. Dasar Teori Listrik Magnet. Edisi Ketiga. Bandung : Penerbit Institut Teknologi Bandung.

Suyoso, 2003. Common Textbook Listrik Magnet. Edisi Revisi. Yogyakarta : Technical Cooperation Project for Development of Science and Mathematics Teaching for Primary and Secondary Education in Indonesian (IMSTEP)